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Cours complets Géométrie différentielle élémentaire

Géométrie différentielle élémentaire

Géométrie différentielle élémentaire

Table des matières
1 Introduction
2 Variétés différentielles..........................6
2.1 Variétés topologiques . . . . . .. . . . . . . . . . . . 6
2.2 Sous-variétés de R. . . . . . . . . . . . 11
2.3 La catégorie des variétés différentielles . . . .. . . . . . 13
2.4 Exemples de variétés différentielles .. . . . . . . . . . 19
2.5 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 38
2.6 Indications pour la résolution des exercices . . . . . .. . . 47
3 Fibrés vectoriels...................64
3.1 Sous-espaces tangents d’une sous-variété de R釜釙. . . 64
3.2 Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 66
3.3 Fibré tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 69
3.4 Application tangente . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 71
3.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 74
3.6 Fibrations . . . . . . . . . . . . . .. . . 77
3.7 Le fibré des formes alternées . . . . . . . .. . . . . . . . 79
3.8 Opérations sur les fibrés vectoriels . . . . .. . . 81
3.9 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 83
3.10 Indications pour la résolution des exercices . . . . .. . . 86
4 Champs de vecteurs et feuilletages-----------92
4.1 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 92
4.2 Opérations sur les champs de vecteurs . . . . . .. . . . . . . 93
4.3 Flot local d’un champ de vecteurs . . . . . . . .. . . . . . 96
4.4 Dérivations . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 99
4.5 Dérivations et champs de vecteurs . . . . . .. . . 101
4.6 Crochets de champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . 104
4.7 Champs de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.8 Feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.9 Théorème de Frobénius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.10 Autres exercices . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 114
4.11 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . .125
5 Groupes de Lie et espaces homogènes---------------155
5.1 Groupes de Lie . . . . .. . . . . 155
5.2 Algèbres de Lie . . . . . .. . . . . . . . . 161
5.3 Algèbre de Lie d’un groupe de Lie. . .. . . . . 163
5.4 Champs de vecteurs invariants . . . . .. . . . . . . 167
5.5 Application exponentielle . . . . . . . .. . . . . . . . . 169
5.6 Sous-groupes de Lie immergés et sous-algèbres de Lie . . . . .173
5.7 Revêtements et groupes de Lie . . . .. . . 176
5.8 Espaces homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.9 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.10 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . .204
6 Formes différentielles---------216
6.1 Formes différentielles . . . . . . . .. . . . . . . . 216
6.2 Cohomologie de de Rham . . . . . .. . . . . . . . 229
6.3 Intégration des formes différentielles . . . . . . . 247
6.4 Cohomologie à support compact . . . . . . .. . . . . . . . 258
6.5 Dualité de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 262
6.6 Théorie du degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 267
6.7 Autres exercices . . . . . . . . .. . . 277
6.8 Indications pour la résolution des exercices . . . .. . 290
A Annexes : rappels divers----316
A.1 Rappels de topologie . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 316
A.2 Rappels sur les actions de groupes . . .. . . . . . . . . 320
A.3 Rappels de calcul différentiel . . . . . . .. . . . . 322
A.4 Rappels sur les revêtements .. . . . . . . 327
A.5 Rappels d’algèbre multilinéaire . . . . . . .. . . . 332
A.6 Rappels d’algèbre homologique . .. . . . . 341
A.7 Indications pour la résolution des exercices . . .. . 348
Index-------355
Bibliographie-------361
Blog, Updated at: 11:31:00

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